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多项式是代数学中的基本概念，理解多项式的定义和特征对于学习多项式除法至关重要。
多项式是具有正整数指数的有限表达式。
多项式的指数必须是正整数，不能是分数或负数。
| 多项式 | 非多项式 |
|---|---|
| \(2x + 4\) | \(\sqrt{x}\) |
| \(4xy^2 + 3x - 9\) | \(6x^{-2}\) |
| \(8\) | \(\frac{4}{x}\) |
多项式的一般形式：\(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0\)
其中 \(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\) 是常数，\(n\) 是非负整数
多项式具有以下重要特征：
多项式长除法是除多项式的基本方法，类似于数字的长除法。
可以使用长除法将多项式除以 \((x \pm p)\) 或 \((ax \pm b)\)，其中 \(p, a, b\) 是常数。
将 \(x^3 + 2x^2 - 17x + 6\) 除以 \((x - 3)\)：
步骤1：\(x^3 \div x = x^2\)
步骤2：\(x^2 \times (x - 3) = x^3 - 3x^2\)
步骤3：\((x^3 + 2x^2) - (x^3 - 3x^2) = 5x^2\)
继续此过程直到余数为0或次数低于除数。
当除数包含系数时，需要特别注意系数的处理。
设 \(f(x) = 4x^4 - 17x^2 + 4\)，将 \(f(x)\) 除以 \((2x + 1)\)：
步骤1：\(4x^4 \div 2x = 2x^3\)
步骤2：\(2x^3 \times (2x + 1) = 4x^4 + 2x^3\)
继续此过程，注意系数的计算。
理解余数与因式的关系是多项式除法的重要应用。
求 \(2x^3 - 5x^2 - 16x + 10\) 除以 \((x - 4)\) 的余数：
通过长除法得到余数为 \(-6\)。
由于余数 \(\neq 0\)，所以 \((x - 4)\) 不是多项式的因式。